第五节　常微分方程

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1微分方程y″－2y′＋y＝0的两个线性无关的特解是（　　）。[2016年真题]

A．y₁＝x，y₂＝e^x

B．y₁＝e^－x，y₂＝e^x

C．y₁＝e^－x，y₂＝xe^－x

D．y₁＝e^x，y₂＝xe^x

【答案】D

【解析】本题中，二阶常系数线性微分方程的特征方程为：r²－2r＋1＝0，解得：r₁＝r₂＝1，故方程的通解为：y₂＝e^x（c₁＋c₂x），则两个线性无关解为c₁e^x、c₂xe^x（c₁、c₂为常数）。

2微分方程y″＝sinx的通解y等于（　　）。[2018年真题]

A．－sinx＋C₁＋C₂

B．－sinx＋C₁x＋C₂

C．－cosx＋C₁x＋C₂

D．sinx＋C₁x＋C₂

【答案】B

【解析】方法一：直接利用代入法。B项，当y＝－sinx＋C₁x＋C₂时，y′＝－cosx＋C₁，继续求导得，y″＝sinx，符合题意。n阶微分方程通解中应含有n个任意常数。A项通解中实质上只有一个任意常数，而CD两项均不满足微分方程y″＝sinx，则均不符合。

方法二：由（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx，则通过求原函数不定积分得y′＝－cosx＋C₁，再求一次不定积分得y＝－sinx＋C₁x＋C₂，B项符合题意。

3微分方程xy′－y＝x²e^2x的通解y等于（　　）。[2014年真题]

A．x（e^2x/2＋C）

B．x（e^2x＋C）

C．x（x²e^2x/2＋C）

D．x²e^2x＋C

【答案】A

【解析】当x≠0时，原微分方程可化为：y′－y/x＝xe^2x

则

4在下列微分方程中，以函数y＝C₁e^－x＋C₂e^4x（C₁，C₂为任意常数）为通解的微分方程是（　　）。[2018年真题]

A．y″＋3y′－4y＝0

B．y″－3y′－4y＝0

C．y″＋3y′＋4y＝0

D．y″＋y′－4y＝0

【答案】B

【解析】由题意知，二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为－1和4，只有B项满足。

【总结】求二阶常系数齐次线性微分方程y″＋py′＋qy＝0的通解的步骤：

①求出微分方程的特征方程r²＋pr＋q＝0；

②求出特征方程的两个根r₁，r₂；

③根据r₁，r₂的不同情形，写出微分方程的通解：

a．当r₁≠r₂，

b．当r₁＝r₂，

c．一对共轭复根r_1，2＝α±βi，y＝e^αx（C₁cosβx＋C₂sinβx）。

5微分方程dy/dx＋x/y＝0的通解是（　　）。[2012年真题]

A．x²＋y²＝C（C∈R）

B．x²－y²＝C（C∈R）

C．x²＋y²＝C²（C∈R）

D．x²－y²＝C²（C∈R）

【答案】C

【解析】由dy/dx＝－x/y，ydy＝－xdx，故两边积分得：（1/2）y²＝－（1/2）x²＋C，y²＝－x²＋2C，整理得，x²＋y²＝C₁，这里常数C₁必须满足C₁≥0。故方程的通解为x²＋y²＝C²（C∈R）。

6微分方程y′－y＝0满足y（0）＝2的特解是（　　）。[2017年真题]

A．y＝2e^－x

B．y＝2e^x

C．y＝e^x＋1

D．y＝e^－x＋1

【答案】B

【解析】因为y′－y＝0，所以dy/dx＝y，得∫（1/y）dy＝∫1dx，则lny＝x＋c₁；解得：

即y＝ce^x，又y（0）＝2，解得c＝2，即y＝2e^x。

7微分方程的通解是（　　）。[2011年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分离变量法，原式等价于：

两边积分得：

整理得：

8微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是（　　）。[2011年真题]

A．sin（y/x）＝Cx

B．cos（y/x）＝Cx

C．sin（y/x）＝x＋C

D．Cxsin（y/x）＝1

【答案】A

【解析】令y/x＝u，则dy/dx＝xdu/dx＋u，原式等价于du/tanu＝dx/x，两边分别积分得：ln（sinu）＝lnx＋lnC，则微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是sin（y/x）＝Cx。

9微分方程ydx＋（x－y）dy＝0的通解是（　　）。[2010年真题]

A．（x－y/2）y＝C

B．xy＝C（x－y/2）

C．xy＝C

D．y＝C/ln（x－y/2）

【答案】A

【解析】微分方程ydx＋（x－y）dy＝0可写成ydx＋xdy＝ydy，右端仅含y，求积分得y²/2。左端既含x又含y，它不能逐项积分，但却可以化成d（xy），因此，直接求积分得到xy，从而便得到微分方程的隐式解：xy＝y²/2＋C，即（x－y/2）y＝C。

10函数（C₁，C₂为任意数）是微分方程y″－y′－2y＝0的（　　）。[2014年真题]

A．通解

B．特解

C．不是解

D．解，既不是通解又不是特解

【答案】D

【解析】微分方程y″－y′－2y＝0的特征方程为：r²－r－2＝0，解特征方程得：r₁＝2，r₂＝－1。故其通解为：y＝C₁e^2x＋C₂e^－x，即题中函数是方程的解，但不是通解或特解。

11微分方程xy′－ylny＝0满足y（1）＝e的特解是（　　）。[2013年真题]

A．y＝ex

B．y＝e^x

C．y＝e^2x

D．y＝lnx

【答案】B

【解析】将各选项答案代入已知条件判断如下：A项，代入可得，ex－exln（ex）≠0，不满足；B项，代入可得，xe^x－xe^x＝0，当x＝1时，有y（1）＝e，满足；CD两项不满足y（1）＝e。

12已知微分方程y′＋p（x）y＝q（x）（q（x）≠0）有两个不同的解y₁（x），y₂（x），C为任意常数，则该微分方程的通解是（　　）。[2012年真题]

A．y＝C（y₁－y₂）

B．y＝C（y₁＋y₂）

C．y＝y₁＋C（y₁＋y₂）

D．y＝y₁＋C（y₁－y₂）

【答案】D

【解析】所给方程的通解等于其导出组的通解加上该方程对应齐次方程的一个特解，（y₁－y₂）是导出组的一个解，C（y₁－y₂）是导出组的通解。

13微分方程y″＋y′＋y＝e^x的一个特解是（　　）。[2017年真题]

A．y＝e^x

B．y＝e^x/2

C．y＝e^x/3

D．y＝e^x/4

【答案】C

【解析】求解特征方程，可得1不是特征方程的根，根据已知微分方程的表达式，可设特解为y＝Ae^x，代入原方程解得A＝1/3，所以该微分方程的一个特解为y＝e^x/3。

14微分方程y″－3y′＋2y＝xe^x的待定特解的形式是（　　）。[2013年真题]

A．y＝（Ax²＋Bx）e^x

B．y＝（Ax＋B）e^x

C．y＝Ax²e^x

D．y＝Axe^x

【答案】A

【解析】形如y″＋py′＋qy＝P（x）e^αx的非齐次方程的特解为：y^*＝x^kQ（x）e^αx，其中k的取值视α在特征方程中的根的情况而定，Q（x）的设法视P（x）的次数而定。在此，特征方程r²－3r＋2＝0的特征根为r＝2，r＝1为单根形式，故k＝1；P（x）＝x，为一次函数，可设Q（x）＝Ax＋B。故原微分方程的待定特解的形式为：x（Ax＋B）e^x＝（Ax²＋Bx）e^x。

15以y₁＝e^x，y₂＝e^－3x为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是（　　）。[2012年真题]

A．y″－2y′－3y＝0

B．y″＋2y′－3y＝0

C．y″－3y′＋2y＝0

D．y″－2y′－3y＝0

【答案】B

【解析】因y₁＝e^x，y₂＝e^－3x是特解，故r₁＝1，r₂＝－3是特征方程的根，因而特征方程r₂＋2r－3＝0。故二阶线性常系数齐次微分方程是：y″＋2y′－3y＝0。

16微分方程y″＋2y＝0的通解是（　　）。[2010年真题]

A．y＝Asin2x

B．y＝Acosx

C．

D．

【答案】D

【解析】二阶常系数线性齐次方程，写出特征方程r²＋2＝0，特征根为：

则方程的通解为：

17微分方程cosydx＋（1＋e^－x）sinydy＝0满足初始条件y|_x＝0＝π/3的特解是（　　）。

A．cosy＝（1＋e^x）/4

B．cosy＝1＋e^x

C．cosy＝4（1＋e^x）

D．cos²y＝1＋e^x

【答案】A

【解析】原方程可整理为：－sinydy/cosy＝dx/（1＋e^－x）

两边取不定积分得：∫（dcosy/cosy）＝∫[1/（1＋e^－x）]dx，则lncosy＝ln（1＋e^x）＋C。因此，cosy＝C（1＋e^x），其中C为任意常数。将初始条件代入，可知C＝1/4。

18函数y＝C₁e^x＋C₂e^－2x＋xe^x满足的一个微分方程是（　　）。

A．y″－y′－2y＝3xe^x

B．y″－y′－2y＝3e^x

C．y″＋y′－2y＝3xe^x

D．y″＋y′－2y＝3e^x

【答案】D

【解析】y＝C₁e^x＋C₂e^－2x＋xe^x是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，相应的齐次方程的特征根λ₁＝1，λ₂＝－2，特征方程应是（λ－1）（λ＋2）＝0，于是相应的齐次方程是y″＋y′－2y＝0。CD两项中，方程y″＋y′－2y＝3e^x，有形如y^*＝Axe^x的特解（此处e^ax中a＝1是单特征根）。

19具有特解y₁＝e^－x，y₂＝2xe^－x，y₃＝3e^x的3阶常系数齐次线性微分方程是（　　）。

A．y－y″－y′＋y＝0

B．y＋y″－y′－y＝0

C．y－6y″＋11y′－6y＝0

D．y－2y″－y′＋2y＝0

【答案】B

【解析】由特解知，对应特征方程的根为：λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝1。于是特征方程为：（λ＋1）²（λ－1）＝λ³＋λ²－λ－1＝0。故所求线性微分方程为：y＋y″－y′－y＝0。